Imagen tomada de Youtube:Math2me

4 Métodos para resolver una ecuación cuadrática. ¿Cuál es el mejor?

Si eres un experto resolviendo ecuaciones cuadráticas entonces  puedes aportarnos algún otro método para resolverlas, te lo vamos agradecer. En cambio si sientes que es un problema escoger el mejor método para encontrarle solución, entonces tienes aquí  4  Métodos para resolver una ecuación cuadrática cada uno orientado a las características de la ecuación. Nos limitaremos únicamente a soluciones en R.

1. Método de la raíz cuadrada.

p5

Analicemos las características de una ecuación cómo la siguiente:

25x²-121=0

Sabemos que la forma estándar de una ecuación cuadrática es

ax²+bx-c=0,    con a ≠ 0

En nuestra ecuación propuesta, tenemos que a=25, b=0 y  c= – 121

p6

Debemos tener el cuidado de saber que b=0 no tiene que ver con el lado derecho de la ecuación que podemos ver es cero. Realmente equivale a decir que el término que falta se completa con 0x. 

Descripción del método:

Despejar para la variable x (o la variable involucrada) como se muestra en nuestro ejemplo:

25x² – 121=0       Ecuación dada

25x² = 121          Transponiendo -121

x² = 121/25         Transponiendo 25

x = ±√121/25      Aplicando raíz cuadrada en ambos lados

Es importante comprender el porqué de los símbolos ±, pues recordemos que todo número real positivo tiene dos raíces reales, una positiva y otra negativa.          Ejemplo:     √4 = ± 2  ya que  (-2)(-2) = 4  y  también (2)(2) = 4  

Si generalizamos este método para cualquier ecuación cuadrática con b=0 , y además con c negativo. Las soluciones serían

x = ±√(-c/a)

 

2. Método por Factorización

En este método analizaremos dos casos:

  • Ecuaciones cuadráticas sin término independiente, es decir, c = 0 y con b ≠ 0

  • Ecuaciones cuadráticas con término independiente, es decir: c ≠ 0 y con b ≠ 0

El primer caso lo ejemplificamos con la ecuación:  16x² – 128x = 0

p7

a=16, b=-128 y aprovechando que c=0,  factorizamos mediante factor común:

16x² – 128x = 0                Ecuación dada 

16x ( x – 8) = 0                Factor común es 16x (Propiedad distributiva)

16x = 0  y  ( x – 8) = 0     Aplicación del Teorema del factor cero

x = 0  y  x = 8                   Solución 

De igual forma podemos generalizar las dos soluciones para este caso como sigue:

x = 0 y x = -b/a

 

Para el segundo caso resolveremos el ejemplo con la ecuación: x² – 16x + 63 = 0

p8

Aplicando el tanteo para encontrar los dos factores tenemos

x² – 16x + 63 = 0            Ecuación dada

(x – 9)(x -7) = 0               Tanteo: dos números cuya suma sea -16 y producto 63 

x = 9   y   x = 7                Aplicando el Teorema del factor cero y despejando para x

Sin embargo no siempre es posible utilizar el tanteo o a veces resulta muy complicado.

Es por eso que los dos siguientes métodos son considerados los más completos para resolver una ecuación cuadrática.

3. Mediante la Completación del cuadradoMetodo_de_completar_el_cuadrado_1

Consideremos la ecuación x² – 12x + 24 = 0

x² – 12x = -24                        Transponiendo 24

x² – 12x + 6² = -24 + 6²        Completando el cuadrado: sumando la mitad de

12 elevada al cuadrado en ambos lados, de modo que el lado                                                       izquierdo se convierta en un Trinomio Cuadrado Perfecto.

(x-6)² = 12                            Factorizando el TCP y simplificando el lado derecho.

x-6=±√12                              Aplicando raíz cuadrada en ambos lados

x=6±√12                                Transponiendo -6. Obtenemos dos soluciones.

Es posible aplicar este método también cuando el coeficiente a es diferente de 1. Sin embargo el cuarto método resume la completación del cuadrado, pues es una aplicación o deducción de este.

4. Mediante la Fórmula General Cuadrática.

La muy conocida fórmula cuadrática es el método más completo y seguro para encontrar la solución de una ecuación cuadrática. Está dada por

p9

Sea la ecuación 4x² -5x -11 = 0

Tenemos que a=4, b=-5 y c=-11

Al sustituir en la fórmula y simplificando obtenemos

p10  Soluciones

Es importante recordar que

  • Si el valor que está adentro de la raíz cuadrada (discriminante) nos resulta negativo, no hay solución real
  • Si el discriminante es cero, habrá una solución
  • Si es positivo, habrá dos soluciones, como en este caso.

Cabe mencionar que toda ecuación cuadrática es posible solucionarla mediante la fórmula general, sin embargo si se logra comprender los dos primeros métodos, nos ahorramos considerablemente parte del procedimiento.

He tratado de especificar tales casos en los cuáles es conveniente utilizar uno u otro método. ¿Cuál prefieres tú? ¿Tienes algún caso que quieres que consideremos en este post?

Agradezco tu visita, espero haya sido de utilidad, de ser así comparte con otros.

Hasta un nuevo post!

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